今天看一本书的时候突然想到一个问题：增信业务直觉上没法赚钱啊，为什么那么普遍？于是就稍微推了一下，想看看自己的直觉对不对。

假定无风险毛收益率为

假定某企业希望发行债券，其违约概率和违约损失率已知。在企业当前评级下，该债券的票面毛利率应定为。则如果投资者是风险厌恶的，票面毛利率满足：

折腾得

\frac{R_f-PD_c(1-LGD_c)}{1-PD_c}=R_f+\frac{PD_c(R_f-1+LGD_c)}{1-PD_c}">

[2]式表明该公司债券的风险溢价不小于最右边那一坨分式。假定此时有发债票面毛利率为的某金融机构愿为企业提供增信服务，收取费率e。不失一般性，假定企业享受该机构的增信服务后，发行债券的票面毛利率变为。则该企业使用增信服务的条件是

R_b+e">

[3]式的意思是企业只会因为能降举债成本而选择增信服务。这里由于要讨论是否选择增信服务，简单起见假定贷款的举债成本高于，贷款更便宜的情形要讨论也很简单但是会写更多字所以懒得弄了。

而金融机构也无非是一个市场主体。所以其发债成本也应满足：

R_f+\frac{PD_b(R_f-1+LGD_b)}{1-PD_b}">

不失一般性，假定金融机构是风险中性的。那么增信费率e应满足

PD_c LGD_c">

[5]式说的是增信费率要能覆盖对该企业追索权的预期损失。由于增信机构提供增信服务没出本金所以跟无风险收益率没关系。

下面问题来了：什么条件下e存在？

将式[4][5]代入[3]，得：

PD_c LGD_c+R_f+\frac{PD_b(R_f-1+LGD_b)}{1-PD_b}">

由于对于自身违约风险不同的金融机构，其能收取的最低的增信费率是相同的（见式[5]），则可以通过考察违约风险为零的金融机构收取最低增信费率的情形来看增信费率是否存在。如果这种情况下增信费率不存在，那么增信服务就是亏的。这种极端情形下[6]式变为：

PD_cLGD_c+R_f">

那么若

，则[6]可由[2]式推出。

金融机构的另一个极端情形是。在这个情况下，易知增信费率不存在。故若[7]成立，则增信费率可能存在，而且介值定理保证了存在适合提供增信服务的金融机构的的上限。反之，若[7]不成立，则适应企业的增信费率不存在。容易知道[7]肯定成立，除非无风险收益率负了。

所以定性的结论就很简单了：信誉不够好的金融机构做不了增信。某些机构做增信属于赌博。

这结论也是真的trivial……这个故事告诉我们，好神棍不如烂笔头。